表題の通り、sam local start-apiでヘッダーが勝手にキャメルケースになる問題についてです。
こちらにドンピシャの回答があるのですが、内部で使っているFlaskの仕様だそうです。
Headers are received in Camel-Case · Issue #1860 · aws/aws-sam-cli
仕方ないのでNode.jsでは下記ワークアラウンドをしてヘッダーをすべて小文字にして対応しましょう。
（Pythonならissueのコメントにサンプルコードが載っています）
consttoLowerCaseKey=function(object){letnewObject={};for(letkeyinobject){if(object.hasOwnProperty(key)){newObject[key.toLocaleLowerCase()]=object[key];}}returnnewObject}